Teoremas Asintóticos
Contenido
5. Teoremas Asintóticos¶
5.1. Ley débil de los grandes números¶
Sea \(\{X_i\}_{i=1}^N\) un conjunto de \(N\) v.a. independientes idénticamente distribuidas (iid) de media \(\mu\) y varianza finita \(\sigma^2\). Entonces, para cualquier \(\epsilon >0\) se tiene:
\[\lim_{N \to \infty} P\left\{\middle | \frac{\sum_i X_i}{N} - \mu \,\middle | > \epsilon \right\} = 0\]
5.2. Teorema del Límite Central¶
Sean \(X_1,...X_N\) v.a. iid de media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\) entonces \(S_N=X_1+...X_N\) cumple:
\[ \lim_{N \to \infty}P\left( \frac{S_N - N\mu}{\sigma\sqrt N} \leq z\right) = F_Z(z)
\qquad Z \sim \cal{N}(0,1)\]
En particular \(m= \frac{S_N}{N}= \frac{\sum_{i=1}^N \limits X_i}{N}\) cumple:
\[ \lim_{N \to \infty}P\left( \frac{m - \mu}{\sigma/\sqrt N} \leq z\right) = F_Z(z) \]
Es decir que es posible aproximar la distribución de \(m\) por \({\cal{N}}(\mu,\frac{\sigma^2}{N})\)