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Contenido

3. Estadísticos principales

• Esperanzas, varianza y ley débil de los grandes números

• Variables aleatorias especiales

3.1. Esperanza

La esperanza o valor esperado de una v.a. $X$ se denota $E[X]$ y se calcula como:

$\begin{array}{l}E[X]=\{\begin{array}{ll}\sum _i{x}_{i}P(X=x_i)& siXdiscreta\\ \int x{f}_X(x)dx& siXcontinua\end{array}\end{array}$

Consideremos $g$ una función a valores reales, entonces:

$\begin{array}{lll}E[g(X)]& =& \{\begin{array}{ll}\sum _{i}g(x_i)P(X=x_i)& siXdiscreta\\ \int g(x)f_X(x)dx& siXcontinua\end{array}\end{array}$

Para el caso especial de $g(x)=x^n$ se define el n-ésimo momento de X como:

$\begin{array}{lll}E[X^n]& =& \{\begin{array}{ll}\sum _i{x}_i^{n}P(X=x_i)& siXdiscreta\\ \int x^n{f}_X(x)dx& siXcontinua\end{array}\end{array}$

La esperanza es el primer momento y se denota $\mu$.

Propiedades

Sean $a,b\in \mathcal{R}$ entonces:

$\begin{array}{lll}E[aX+b]& =& aE[X]+b\\ E[X+Y]& =& E[X]+E[Y]\end{array}$

3.2. Varianza y covarianza

La varianza mide la variación de la v.a. entorno a la esperanza o media $\mu$, y se define como

$\begin{array}{l}Var(X)=E[(X-\mu {)}^2]=E[X^2]-{\mu }^2\end{array}$

Se cumple que:

$\begin{array}{l}Var(aX+b)=a^{2}Var(X)\end{array}$

Se define además la desviación estándar $\sigma =\sqrt{Var(X)}$

La covarianza mide la relación (lineal) que hay entre dos v.a. $X$ e $Y$. Si denotamos ${\mu }_X=E[X]$ y ${\mu }_Y=E[Y]$ entonces:

$\begin{array}{lll}Cov(X,Y)& =& E[(X-{\mu }_X)(Y-{\mu }_y)]\end{array}$

La correlación es una medida normalizada:

$\begin{array}{lll}Corr(X,Y)& =& \frac{Cov(X,Y)}{Var(X)Var(Y)}\end{array}$

Propiedades

$\begin{array}{lll}Cov(X,Y)& =& Cov(Y,X)\\ Cov(X,X)& =& Var(X)\\ Cov(X+Z,Y)& =& Cov(X,Y)+Cov(Z,Y)\\ Cov(\sum _i{X}_i,Y)& =& \sum _{i}Cov(X_i,Y)\\ Var(X+Y)& =& Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)\\ Var(\sum _i{X}_i)& =& \sum _{i}Var(X_i)+\sum _i\sum _{j\ne i}Cov(X_i,X_j)\end{array}$

3.3. Otros estadísticos

$\begin{array}{lll}\text{ Asimetría (skewness) }& =& \frac{E[(X-\mu {)}^3]}{{\sigma }^3}=\frac{E[X^3]-3\mu {\sigma }^2-{\mu }^3}{{\sigma }^3}\\ & & \\ \text{ Curtosis }& =& \frac{E[(X-\mu {)}^4]}{{\sigma }^4}=\frac{E[X^4]-4\mu E[X^3]+6{\mu }^2{\sigma }^2+3{\mu }^4}{{\sigma }^4}\end{array}$

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