Estadísticos principales
Contenido
3. Estadísticos principales¶
Esperanzas, varianza y ley débil de los grandes números
Variables aleatorias especiales
3.1. Esperanza¶
La esperanza o valor esperado de una v.a. \(X\) se denota \(E[X]\) y se calcula como:
\(\begin{array}{ll} E[X] = \left\{\begin{array}{ll} \sum_i x_i P(X=x_i) & si\,X\, discreta\\ \int x f_X(x)dx & si\,X\, continua\\ \end{array} \right .\\ \end{array}\)
Consideremos \(g\) una función a valores reales, entonces:
\(\begin{array}{lll} E[g(X)] & = & \left\{\begin{array}{ll} \sum_i g(x_i) P(X=x_i) & si\,X\, discreta\\ \int g(x) f_X(x)dx & si\,X\, continua\\ \end{array}\right .\\ \end{array}\)
Para el caso especial de \(g(x) = x^n\) se define el n-ésimo momento de X como:
\(\begin{array}{lll} E[X^n] & = & \left\{\begin{array}{ll} \sum_i x_i^n P(X=x_i) & si\,X\, discreta\\ \int x^n f_X(x)dx & si\,X\, continua\\ \end{array}\right .\\ \end{array}\)
La esperanza es el primer momento y se denota \(\mu\).
Propiedades
Sean \(a,b \in \cal{R}\) entonces:
\(\begin{array}{lll} E[aX+b] & = & aE[X] + b \\ E[X + Y] & = & E[X] + E[Y]\\ \end{array}\)
3.2. Varianza y covarianza¶
La varianza mide la variación de la v.a. entorno a la esperanza o media \(\mu\), y se define como
\(\begin{equation} \begin{array}{ll} Var(X) = E[(X-\mu)^2] = E[X^2] - \mu^2 \end{array} \end{equation}\)
Se cumple que:
\(\begin{equation} \begin{array}{ll} Var(aX+b) = a^2 Var(X) \end{array} \end{equation}\)
Se define además la desviación estándar \(\sigma = \sqrt{Var(X)}\)
La covarianza mide la relación (lineal) que hay entre dos v.a. \(X\) e \(Y\). Si denotamos \(\mu_X = E[X]\) y \( \mu_Y= E[Y]\) entonces:
\(\begin{equation} \begin{array}{lll} Cov(X,Y) & = & E[(X-\mu_X)(Y-\mu_y)] \end{array} \end{equation}\)
La correlación es una medida normalizada:
\(\begin{equation} \begin{array}{lll} Corr(X,Y) & = & \frac{Cov(X,Y)}{Var(X) Var(Y)} \end{array} \end{equation}\)
Propiedades
\(\begin{array}{lll} Cov(X,Y) & = & Cov(Y,X) \\ Cov(X,X) & = & Var(X)\\ Cov(X+Z,Y) & = & Cov(X,Y) + Cov(Z,Y)\\ Cov(\sum_i \limits X_i,Y) & = & \sum_i \limits Cov(X_i,Y)\\ Var(X+Y) & = & Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)\\ Var(\sum_i \limits X_i) & = & \sum_i \limits Var(X_i) + \sum_i \limits \sum_{j\neq i} \limits Cov(X_i,X_j) \end{array}\)
3.3. Otros estadísticos¶
\(\begin{array}{lll} \text{ Asimetría (skewness) } & = & \frac{E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3} = \frac{E[X^3]-3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}\\ &&\\ \text{ Curtosis }& = &\frac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4} = \frac{E[X^4] - 4\mu E[X^3] + 6\mu^2\sigma^2 + 3\mu^4}{\sigma^4}\\ \end{array}\)