1. Elementos Básicos de Teoría de Probabilidades¶

Teoría de Probabilidades
Experimento, espacio muestral, evento
Definición Formal de Probabilidades
Probabilidades Condicionales, Independencia e Independecia Condicional
Ley de las Probabilidades Totales
Regla de Bayes

Teoría de Probabilidades

Modelamiento de fenómenos aleatorios (por ejemplo, lanzamiento de un dado, el tiempo)
Fundamento de la estadística: que es la recolección, organización, análisis, interpretación y presentación de datos.

Experimento, Espacio Muestral, Evento

Experimento: fenónemo aleatorio
Espacio Muestral: conjunto de todos los posibles valores que puede tomar un experimento.
Evento: cualquier subconjunto del espacio muestral “>8 caras en 10 lanzamientos de una moneda”, “mañana estará soleado en Valdivia”

1.1. Probabilidades¶

¿Qué tan posible es que un evento ocurra?

Dos perspectivas:

$Enfoque frecuentista:$ frecuencias observadas al repetir muchas veces un experimento. La probablidad de obtener cara en el lanzamiento de una moneda es 0.5
$Enfoque Bayesiano:$ incertidumbre subjetiva, grado de creencia (a priori) que es revisado por la observación (probabilidad a posteriori) Yo pienso que hay 0.1 de probabilidad de que un estudiante conozca este concepto.

1.1.1. Definición Formal de Probabilidad¶

Una Probabilidad $P$ es una función que cumple:

\begin{array}{r} \begin{array}{cc} P : & P (Ω) \to [0, 1] \\ A \to P (A) \end{array} \end{array}

que cumple lo siguiente:

$\begin{array}{ll} 1. & \forall A \subset Ω, P (A) \geq 0 \\ 2. & P (Ω) = 1 \\ 3. & S e a n A_{1}, . . ., A_{n} \subset Ω : A_{i} \cap A_{j} = ϕ, \forall i, j = 1. . . n => P (A_{1} \cup . . . \cup A_{n}) = P (A_{1}) + . . . + P (A_{n}) \end{array}$

Propiedades

$P (A) = 1 - P (A^{C})$
$P (ϕ) = 0$
$S i A \subset B => P (A) \leq P (B)$
$P (A) \leq 1$
$\forall A, B \in Ω P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

¿Cómo asignamos valores de probabilidad?

$Enfoque frecuentista relativo:$ Sea $n$ el número de experimentos, y $n (A)$ el número de veces que el evento $A$ ocurre en la realización de esos experimentos, entonces $P (A) = \frac{n (A)}{n}$
$Enfoque frecuentista clásico:$ Sea $n (A)$ el número elementos en el evento $A$ , y $n (Ω)$ el número de elementos en el espacio muestral $Ω$ , entonce $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)}$
$Enfoque Bayesiano:$ Yo pienso que la probabilidad de que me gane un proyecto es $0.9$ (probabilidad a priori).

1.1.2. Probabilidades condicionales¶

Sean $A, B \subset Ω$ , si $P (B) > 0$ , se define:

$\begin{array}{lll} P (A ∣ B) & = & \frac{P (A \cap B)}{P (B)} \end{array}$

Si además se cumple que $P (A) > 0$ , se tiene:

$\begin{array}{lll} P (A \cap B) & = & P (A ∣ B) P (B) = P (B ∣ A) P (A) \end{array}$

Esto se puede extender a mas eventos:

$\begin{array}{lll} P (A \cap B \cap C) & = & P (A) P (B ∣ A) P (C ∣ A \cap B) \end{array}$

siempre que $P (A), P (A \cap B) > 0$

1.1.3. Independencia¶

¿Cómo determinar que dos eventos son independientes?

Sean $A, B \subset Ω$ con $P (A), P (B) > 0$ , si cualquiera de las siguientes condiciones se cumple:

$P (A \cap B) = P (A) P (B)$
$P (A ∣ B) = P (A)$
$P (B ∣ A) = P (B)$

se dice que $A$ es independiente de $B$ .

1.1.4. Independencia Condicional¶

¿Cómo determinar que dos eventos $A$ y $B$ son independientes dados un tercer evento $C$ ?

Sean $A, B, C \subset Ω$ con $P (A \cap C), P (B \cap C), P (C) > 0$ , si cualquiera de las siguientes condiciones se cumple:

$P (A \cap B ∣ C) = P (A ∣ C) P (B ∣ C)$
$P (A ∣ B \cap C) = P (A ∣ C)$
$P (B ∣ A \cap C) = P (B ∣ C)$

se dice que $A$ es independiente de $B$ condicionalmente a $C$ .

Ejemplo: Altura, Vocabulario y Edad

1.1.5. Ley de las Probabilidades totales¶

Consideremos ahora una partición del espacio muestral ${B_{i}}_{i = 1, . . n}$ , es decir:

$\begin{array}{lll} ⋃_{i = 1}^{n} B_{i} = Ω, & B_{i} \cap B_{j} = ϕ \forall i, j = 1, . . n, i \neq j \end{array}$

entonces:

$\begin{array}{lll} P (A) & = & \sum_{i = 1}^{n} P (A ∣ B_{i}) P (B_{i}) \end{array}$

Ejemplo: Sea $A$ = {Pedro acepta trabajo en Chile} y $B_{i}$ = {Oferta de trabajo para Pedro en region $i$ }, $i = 1, . . ., 15$

1.1.6. Regla de Bayes¶

A partir de la defición de probabilidades condicionales se puede deducir la regla de Bayes:

Sean $A, B \subset Ω$ tales que $P (A), P (B) > 0$ , entonces

$\begin{array}{lll} P (B ∣ A) & = & \frac{P (A ∣ B) P (B)}{P (A)} \end{array}$

$P (B)$ se denomina probabilidad a priori, $P (B ∣ A)$ probabilidad a posteriori

1.1.7. Teorema de Bayes¶

Consideremos una partición del espacio muestral ${B_{i}}_{i = 1, . . n}$ , entonces:

$\begin{array}{lll} P (B_{i} ∣ A) & = & \frac{P (A ∣ B_{i}) P (B_{i})}{P (A)} & = & \frac{P (A ∣ B_{i}) P (B_{i})}{\sum_{i = 1}^{n} P (A ∣ B_{i}) P (B_{i})} \end{array}$

Herramientas estadísticas para la investigación

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